自相关函数性质

以MA(1)为例。$X_t=\theta_0+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}$, 其中$\{\varepsilon_t\}$是零均值独立同分布白噪声，$\theta_0,\theta_1$是任意实数，平稳
性不需要特征根的条件。

易见

$$ EX_t=\theta_0,\:\forall t,\quad\mathrm{Var}(X_t)=\sigma^2(1+\theta_1^2)=\gamma_0\:. $$

而

$$ \gamma _{1}= E[ ( X_{t}- \theta _{0}) ( X_{t- 1}- \theta _{0}) ] = E[ ( \varepsilon _{t}+ \theta _{1}\varepsilon _{t- 1}) ( \varepsilon _{t- 1}+ \theta _{1}\varepsilon _{t- 2}) ] = \theta _{1}E\varepsilon _{t- 1}^{2}= \sigma ^{2}\theta _{1} $$

对$k>1$

$$ \gamma_{k}=E[(\varepsilon_{t}+\theta_{1}\varepsilon_{t-1})(\varepsilon_{t-k}+\theta_{1}\varepsilon_{t-k-1})]=0\:(k>1)\:. $$

因为$k>1$,所以$t-k-1<t-k<t-1<t$,求协方差时均不相关。

所以，对于MA(1)序列，有

$$ \gamma_k=\left\{\begin{matrix}\sigma^2(1+\theta_1^2),&k=0,\\\sigma^2\theta_1,&k=1,\\0,&k>1.\end{matrix}\right. $$

相应地，MA(1)的自相关函数为。ps：时间序列中自协方差与自相关函数的关系

$$ \rho_k=\begin{cases}1,&k=0,\\\frac{\theta_1}{1+\theta_1^2},&k=1,\\0,&k>1\:.\end{cases} $$

这就验证了MA(1)序列是弱平稳列。MA(1)的自相关函数在$k>1$后为零的性质叫做MA序列的自相关函数截

尾性。

对于MA$(q)$序列

$$ X_t=\theta_0+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\varepsilon_{t-q}, $$

易见

$$ EX_t=\theta_0,\quad\mathrm{Var}(X_t)=\sigma^2(1+\theta_1^2+\cdots+\theta_q^2)=\gamma_0\:. $$

其自相关函数$\rho_k$也满足$q$后截尾性，即$\rho_k=0$,$\forall k>q$。如果$\theta_q\neq0$,则$\rho_q\neq0$。这样，MA$(q)$序列的两个时间点的观测$X_s$和$X_t$当$|s-t|>q$时不相关，代表了一种特殊的“有限记忆”的模型。MA序列的自相关函数截尾性也是在模型识别和定阶时的重要依据。